集合・位相入門 4章についてのノート - I'm chizuchizu
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3 分で読めます

普通にノートとして書いてますが、何かあれば優しくコメントしてくれたら助かります。

定義

$$ f: A \rightarrow B $$

$$ P, P_1, P_2 \subset A \
Q, Q_1, Q_2 \subset B $$

1. 写像について

定理

$$ f(P_1 \cup P_2) = f(P_1) \cup f(P_2) $$

証明

$$ P_1 \cup P_2 \subset P_1, f(P_1 \cup P_2) \subset f(P_1) $$

同様にして、 $$ P_1 \cup P_2 \subset P_2, f(P_1 \cup P_2) \subset f(P_2) $$ より、 $$ f(P_1 \cup P_2) = f(P_1) \cup f(P_2) $$

2. 逆像について

定理

$$ f^{-1}(f(P)) \supset P $$

証明

$$ a \in f^{-1}(f(P)) $$

とすると、 $$ \exists b \in f(P)\ s.t. \ f(a) = b $$ つまり、 $$ f^{-1}(b) \in P \Leftrightarrow f^{-1}(f(a)) \in P \Leftrightarrow f^{-1}(f(P)) \supset P $$

別のアプローチ

$$ P \supset f^{-1}(Q) $$

だから、 $$ f(P) \supset f(f^{-1}(Q)) $$

メモ:等号が成り立たない例

あとでやる

3. 単射や全射

定理1

fは単射とすると、以下が成り立つ。 $$ f^{-1}(f(P)) = P $$

証明1

像が一意に定まることを利用する。n個のAの写像(B)の元が存在する。 $$ \exists b \in f(A) = B $$ また、Bの逆像(A)の元もn個存在する。 $$ \exists a \in f^{-1}(B) = A $$ これらの元は1対1対応するので $$ f^{-1}(f(P)) = P $$

定理2

fは全射とすると、以下が成り立つ。 $$ f(f^{-1}(Q)) = Q $$

証明2

$$ P \supset f^{-1}(Q) $$

fは全射なので、 $$ f(A) = B $$ つまり、どんなBの元bに対しても $$ \exists a \in A \ s.t. \ f^{-1}(b)=a $$ このようなaが存在するので $$ f(f^{-1}(Q)) = Q $$

4. 単射について

定理

fが単射ならば、以下が成り立つ。 $$ f(P_1 \cap P_2) = f(P_1) \cap f(P_2) $$

証明

1

はじめに、下を示す。 $$ f(P_1 \cap P_2) \supset f(P_1) \cap f(P_2) $$

$$ \forall a \in f(P_1) \cap f(P_2) $$ をとると、fは単射なので、 $$ a = f(x) \ (x \in P_1) $$

$$ a = f(y)\ (y\in P_2) $$

がいえる。以上より上の式は示せた。

2

次に、下を示す。 $$ f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2) $$

$$ \forall a \in f(P_1 \cap P_2) $$

をとると、ある $$ \exists y \in P_1 \cap P_2 $$ を用いて $$ a = f(y) $$ と表せる。以上より、 $$ a = f(b) \ (\forall b\in P_1) $$

$$ a = f(b) \ (\forall b \in P_2) $$

上の2つが成り立つ。

したがって、 $$ f(P_1 \cap P_2) = f(P_1) \cap f(P_2) $$

5. 差集合がちょっと関わる

定理

$$ f(A-P) \supset f(A) - f(P) $$

証明

言い換える。共通部分。 $$ A-P =A \cap P^c $$

$$ f(A \cap P^c) \supset f(A) \cap f(P)^c $$

$$ \forall x \in f(A) \cap f(P)^c $$

$$ x = f(y)\ (\exists y \in A) $$

$$ x \neq f(y)\ (\exists y \in P) $$

$$ x = f(y)\ (\exists y \in P^c) $$

より、 $$ y \in A \cap P^c $$ したがって、 $$ f(A \cap P^c) \supset f(A) \cap f(P^c) $$

等号の成り立たない例

定置写像(具体例は省く)

fが単射のとき

逆向きを示す。

定理

$$ f(A-P) = f(A) - f(P) $$

証明

$$ f(A-P) \subset f(A) - f(P) $$

以下と同値 $$ f(A \cap P^c) \subset f(A) \cap f(P)^c $$ を示せば上の定理より等号が示せる。

$$ \forall x \in f(A \cap P^c) $$

$$ x = f(y)\ (\exists y \in A \cap P^c) $$

$$ x = f(y)\ (\exists y \in A) $$

$$ x \neq f(y)\ (\exists y \in P) $$

$$ x = f(y) (\exists y \in P^c) $$

つまり、 $$ x \in f(A) $$

$$ x \in f(P)^c $$

といえるので、 $$ f(A-P) \subset f(A) - f(P) $$ したがって、等号がいえる。

6. 逆像など

定理

$$ f^{-1}(B - Q) = A - f^{-1}(Q) $$

つまり、 $$ f^{-1}(B \cap Q^c) = A \cap f^{-1}(Q)^c $$

証明

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