数学

負の二項分布を感覚で理解する

負の二項分布

言い方は色々あります。

  • 二項分布の試行回数と成功回数を入れ替えた分布
  • 幾何分布を一般化させた分布

などです。

二項分布を感覚で理解したいこんにちは、チズチズです。 久しぶりに統計学やるんですけれども、確率分布あたりは忘れやすいのでしっかり理解するためにも記事にしてま...

r回成功するまでに失敗した回数をkとしています。

そしたら試行回数r+k回、成功回数r回の二項分布でいいじゃんって思いますよね。

僕は思ったんですけど、どうやら違うようです。それは単純な話で、負の二項分布では最後は絶対成功でないといけません。したがって、最後の試行を除いて試行回数r+k-1回成功回数r-1回の二項分布に確率pをかけています。

定義など

$$
P(X=k)=_{r+k-1}C_k p^r(1-p)^k = _{-r}C_kp^r(-q)^k\\
E[X]=\frac{r(1-p)}{p}\\
V[X]=\frac{r(1-p)}{p^2}
$$

導出

余裕やろと思って導出を試みましたが難しかったです。

まず、定義から確認します。

二項係数について

\begin{align}
\binom{-n}{r}=(-1)^r\binom{n+r-1}{r}
\end{align}
この式を理解する必要があります。

https://wasan.hatenablog.com/entry/2013/12/20/071845

まずコレを読んでください。

もともとの定義式から計算しやすくするために-rCkに変形させています。

そして、後ろの(-q)^kは

$$(-1)^k_{-r}C_kp^rq^r=_{-r}C_kp^r(-q)^k$$

このようにまとめられています。あとは期待値の計算でkを上手く二項係数にまとめてrを弾き、色々やると期待値が出てきます。

分散も同様にして導出できます。

このやり方の良い点は、二項係数の分母がkなので期待値の計算で出てくるkで約分できるということです。

その他

負の二項分布を使う機会があんまりないのでよくわかりません。

統計検定にも出てない気がします。アクチュアリー数学ではたまに出てますが、仮説検定で1問のみ出てきたレベルなのでそんなに使われない?のでしょうか。

COMMENT

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です