数学

幾何分布を感覚で理解する

幾何分布

そもそもどんな分布?

ベルヌーイ試行を繰り返して初めて事象が起こるまでの試行回数をXとした分布なんですけど、要するに「何回サイコロを振ったら1が出るか」の何回を分布にしたものです。(連続で失敗した回数ともいえる)

ベルヌーイ試行については以下の記事でまとめました。

二項分布を感覚で理解したいこんにちは、チズチズです。 久しぶりに統計学やるんですけれども、確率分布あたりは忘れやすいのでしっかり理解するためにも記事にしてま...

ところで何で幾何分布なんや!?!?!?って思いませんか?

統計検定2級受かってブランク空いた今、ふと名前を思い出しても中身を思い出せないことがよくあるんですけど幾何分布もそうです。何で幾何なんや……

               ちなみに、幾何分布(Geometric Distribution)の名前の由来は、以下で説明する確率変数f(x)が等比数列(幾何数列)の形をしているからと言われています。

引用元:http://by-oneself.com/r_for_baseball16/

後でこれについて補足します。

定義など

$$Ge(p) = P(X=x) = p(1-p)^x\\
E[X] = \frac{1-p}{p}\\
V[X] = \frac{1-p}{p^2}$$

上の質量関数はそのままで、はじめて成功するまでx回失敗したのでこの式になります。

期待値はなんでしょう。まぁp=0.5を代入するとコイントスは1回成功するまで1回失敗するのが普通なのか……そりゃそうや。分散はイメージしづらいですが。

導出について

面倒なのですが、色々方法があります。

1番簡単なのがマクローリン展開してΣに関する式を作ってしまうやり方らしいです。

  • tokei.net
  • 大学の統計学(技術評論社)

この2つはマクローリン展開→微分を用いて導出しています。

大学の統計学を読んでるんですけど

   $$関数列(\sum_{k=0}^{n}x^k)は、|x|<1で広義一様収束しているので項別微分可能$$

引用元:石井俊全(2018)1冊でマスター 大学の統計学

広義一様収束、項別微分可能がわからなくなって調べたんですけどますますわからなくなったので今は触れないでおきます。

これを使うと、1/(1-x)でΣx^kを表せるので簡単にできるようです。

自分がわかってないので説明は省きます(上のサイトや本を参照してほしいです)

何で幾何分布

幾何分布の幾何は等比数列から来ているらしいです。

等比数列の別名が幾何数列というらしいので。

$$q=1-p\\
E[X]=\sum_{k=0}^{n}kpq^k=p+2pq^2+3pq^3+\cdots$$

期待値を導出させようとするとこんな式になります。まさに等比数列(幾何数列)なので幾何分布というらしいです。

(式をpで割るとそれっぽく見える)

無記憶生

過去の失敗なんて関係ねぇ!!!!今は今や!!!ということです。

幾何分布から何がわかるか

幾何分布は失敗回数を確率変数としていますが、これを試行回数に変えてみると感覚をつかみやすいです。

$$E[X+1] = E[X] + 1 = \frac{1-p}{p} + 1 = \frac{1}{p}\\p=0.01\\
E[X+1] = 100$$

日常の感覚を再現できました。1/100のガチャは平均100回で当たります。

あと、無記憶性から今まで当たらなかったら今度は当たるなどの運要素は無いこともわかります。ただ、過度に無記憶生を信じても幸せにならない上に雰囲気ぶち壊しマンにもなりかねないので……

 

結局導出はすっとぼけになってしまいましたが、いつか解析学も理解してやる!!!!!!!

 

幾何分布は問題でもそこまで目にしませんが、他の分布との関係も強いので大事だと思います(一般に有名な分布は全部大事っぽい)

でも……統計検定準1級2019年6月の問題に幾何分布出てるので大事だわ……

幾何分布の期待値は1/pとも書いてあったのでそこまで難しくなさそうでしたが

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