数学

二項分布を感覚で理解したい

こんにちは、チズチズです。

久しぶりに統計学やるんですけれども、確率分布あたりは忘れやすいのでしっかり理解するためにも記事にしてまとめようと思います。(自戒:人のもののコピペNGよ)

今回は二項分布です。

感覚での理解(試行の定義→期待値 と行った流れ)を先に書くのもアリかなぁって考えたんですけど、結末が後ろだと読みづらいので書く順番は逆でも体系的に理解できるように書いていこうと思っています。

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ試行とは

二項分布の前にこれが語られます。

結果が2通り(確率pと1-p)しかなく、結果が起こる確率が一定である試行をベルヌーイ試行といいます。

「サイコロの出た目が1かそれ以外か」もそうです。

ベルヌーイさんの名前からとったらしいです。詳細はわかりませんけど。

ベルヌーイ分布

$$X〜Be(p)\\\\E[X] = 0(1-p) + 1p = p \\E[X^2] = 0^2(1-p) + 1^2p = p \\V[X] = p – p^2 = p(1-p)\\
$$

解釈はしやすいと思います。事象が起こる確率pの期待値はそのままpなので。

二項分布

二項分布とは

ベルヌーイ試行を繰り返したものです。

「サイコロを10回振って、1が4回出る確率」などがまさにそうです。

二項分布

$$
X〜Bin(n, p)\\
P(X=k) = _n C_r p^k (1-p)^{n-k} \\
E[X] = np \\
V[X] = np(1-p)
$$

 

自分なりの解釈ですが、

  1. n回の試行(確率pのベルヌーイ試行をn回)をし、k回成功する
  2. 成功と失敗の組み合わせはnCk
  3. 成功確率p^k、失敗確率(1-p)^(n-k)

    というのを表していると思います。

    k回成功し得る確率と考えられる回数を掛けただけです。

    しかも、期待値や分散もnpとnp(1-p)なのでベルヌーイ試行をn回繰り返したものという解釈と一致していることがわかります。

    導出

    期待値の導出は面倒なので省きますがこの記事がわかりやすかったので見てみてください。

    1. 総和の中のkを二項係数で丸めたい
    2. 二項係数を展開
    3. nを引っ張る(分母の階乗から)
    4. ①のkを消す(分子の階乗と約分して)
    5. 良い感じにしてあとは二項定理
    6. npと総和1の積

    順番はこのようになってますが、先に④のkを消すほうからやったほうが感覚で導出できるかな とは思いました。(二項定理にはめるために③をするほうが納得がいきやすい)

    分散求めるときにE[X^2]出すと思いますが、期待値が導出できれば多分簡単です。

    $$k^2 = k(k-1) + k$$

    とおければOKです。(階乗を処理したいので順番に持ってくる必要がある。)

    後はさっきと同じようなプロセスを踏んで

    $$E[X^2] = n(n-1)p^2 + np$$

    と出して、分散です。

    性質

    正規分布やポアソン分布とも密接な関係があります。特にポアソン分布はこの前面白い資料を見つけたのでそれの紹介もしたいです。(また別のときに)

    というか二項分布の問題は大抵正規分布に近似させて近似値を求めるものなので、正規分布との関連はしっかり学んだほうがいいかもしれません。(統計検定2級では頻出)

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